Abstract & Overview
Commande adaptative de systèmes à retards pour l'atténuation d'oscillations cérébrales pathologiques Les oscillations beta (10-30 Hz) observées dans les ganglions de la base sont un bio-marqueur connu de la maladie de Parkinson. Leur intensité est corrélée à une augmentation des symptômes d'akinésie et de bradykinésie. La stimulation cérébrale profonde (SCP) conduit à une réduction de ces oscillations cérébrales ainsi qu'à une amélioration de la qualité vie du patient. La SCP actuellement utilisée en clinique est toutefois de nature boucle ouverte: les paramètres du signal de stimulation délivré sont constants, indépendamment de l'activité cérébrale ou de l'état du patient. Ceci peut conduire à une sur-stimulation, pouvant induire des effets secondaires et un raccourcissement de l'autonomie du stimulateur, ou au contraire à une sous-stimulation en cas de dégradation des symptômes. Des stratégies de SCP en boucle fermée, qui exploitent des mesures de l'activité cérébrale du patient pour adapter la stimulation en temps réel, constituent une approche prometteuse pour contrer ces limitations. Dans cette thèse, nous exploitons un modèle existant du taux de décharges neuronales de la boucle noyau sous-thalamique (STN) - globus pallidus externe (GPe) pour proposer une SCP proportionnelle adaptative.Nous analysons tout d'abord le modèle bouclé par une commande proportionnelle sur le STN et montrons qu'un gain proportionnel suffisamment élevé assure sa stabilité globale exponentielle (GES). A cette fin, nous proposons un nouveau critère, plus simple à appliquer que les conditions existantes, pour garantir la GES de systèmes globalement Lipschitz au moyen d'une fonctionnelle de Lyapunov-Krasovskii.Nous étendons ensuite l'approche par sigma modification, proposée initialement par Ioannou et Kokotovic, aux systèmes à retards et proposons des conditions explicites sous lesquelles cette commande adaptative stabilise le système. Nous montrons que cette loi de commande garantit alors une stabilité pratique, dans laquelle la norme L_1 de l'état sur une fenêtre temporelle suffisamment longue converge vers un voisinage de l'équilibre à une erreur près, dont l'amplitude peut être arbitrairement réduite par le réglage d'un paramètre de commande. Appliquée au modèle STN-GPe, cette stratégie conduit à une commande proportionnelle dont le gain s'ajuste automatiquement sur la base de mesures de l'activité du STN pour contrer les oscillations cérébrales pathologiques. L'analyse de la robustesse de cette stratégie vis-à-vis de perturbations ou de dynamiques non-modélisées nous a en outre conduit à réfuter, au travers d'un contre-exemple, un résultat existant sur la stabilité partielle des systèmes non-linéaires.Enfin nous illustrons, par des simulations sur une extension spatio-temporelle du modèle, que la stratégie de commande proposée est capable d'atténuer sélectivement les oscillations cérébrales, suivant leur gamme fréquentielle, qu'elles proviennent de la boucle STN-GPe elle-même ou d'entrées corticales du STN.